Kees Hoogland

Rekenen integreren in beroepsvakken in mbo: een kansrijk model.

De kern van het model is een set van circa 125 referentieopgaven die als voorbeeld dienen voor een afdekking van het referentieniveau 2F dan wel 3F.
De referentieopgaven kunnen gekoppeld worden aan:

  1. De leerdoelen uit het referentiekader Taal en Rekenen (dekkend!)
  2. De leerstof uit een methode naar keuze of een leeromgeving met eigen materiaal.
  3. De leerdoelen in onderwijsbegrippenkader of kwalificatiedossier

De referentieopgaven kunnen contextueel worden aangepast aan de beroepsopleiding (of aan burgerschapsprojecten of aan ander activiteiten waarin rekenen een rol speelt). Daarbij blijven de eerdergenoemde koppelingen in stand.

Per beroepsopleiding zal de balans tussen de drie perspectieven (beroepsgericht, burgerschapsgericht, rekenlessen) anders kunnen liggen. Die balans en de onderlinge verwijzingen ontwerpen door beroepsdocenten en rekendocenten samen is overigens een hele goede manier om tot een gedragen integratie te komen. Het dwingt te reflecteren op waar nu precies reken allemaal voorkomt in de beroepsvakken en mogelijk ook stages.

TEMBI5 Puebla – Mexico

Conference

A wonderful conference with math teachers, math teacher educators en students from Mexico, Columbia, Venezuela, and Cuba.  Four days of workshops, lectures and hands-on activities (for instance MathCityMap).

I was honoured to be among the invited “Talleristas”(=workshops) on the connection between mathematics and reality, a spin-off of my doctoral research on image-rich mathematical problems.

I had the pleasure to work in an empowering atmosphere under the charismatic leadership of Dr. Josip Slisko (photo, right), who is driven to improve physics and mathematics education in Mexico by connecting scientific concepts with real-life phenomena in the didactical process.

Presentations

GC 2018 11 16 TEMBI5 Mathematics and Reality Friday
GC 2018 11 17 TEMBI5 Mathematics and Reality Saturday, including homework from the participants

Literature
Hoogland_K_2016_Images_of_Numeracy_UK_instrument_7p
Hoogland_K_2016_Images_of_Numeracy

Rekenen in mbo: van “leren rekenen” naar “gecijferde professionals”

Studenten in het beroepsonderwijs komen in hun (toekomstige) werk karrenvrachten met  kwantitatieve informatie tegen: loonstrookjes, planningen, werkschema’s, recepten, instructies, formulieren, geldzaken, ,..  Het is te veel om op te noemen, maar ze moeten er wel van alles mee. Daarnaast is ook in het dagelijkse leven naast het werk doordesemd met getallen, tabellen en diagrammen. Ook in kranten, op websites en Facebook-pagina’s, in actualiteitenprogramma’s en quizzen: overal duiken getallen op in allerlei vormen en functies.

Er begint wereldwijd langzamerhand een consensus te ontstaan hoe je studenten daar goed op voorbereidt:

  • Rekenangst wegnemen/voorkomen (math anxiety);
  • Laten ervaren waar getallen en aanverwante zaken allemaal een rol spelen (awareness);
  • Veel aandacht voor interpreteren: gebruiken van gegevens om conclusies te trekken (interpretation);
  • Veel aandacht voor “mathematiseren”, dat wil zeggen: Als ik dit probleem wil oplossen met een berekening, wat moet ik dan berekenen? (mathematizing);
  • Veel aandacht voor uit het hoofd schatten, rekenen met ronde getallen en het kritisch leren gebruiken van rekenmachines die je echt overal tegenkomt: als los apparaat, op je telefoon, op je horloge, in de Google-zoekbalk, …  (flexible and critical use);
  • Rekengesprekken voeren over de eigen beleving en eigen verantwoordelijkheid in het omgaan met getallen (self-belief, self-efficacy);
  • Als docent voorleven hoe je kritisch omgaat met getallen om je heen (critical attitude).

Op deze manier werk je aan het opleiden van gecijferde professionals.
De OESO (OECD) bepleit al heel lang deze vorm van gecijferdheid:  “Numeracy is accessing, using and reasoning critically with mathematical content, information and ideas represented in multiple ways in order to engage in and manage the mathematical demands of a range of situations in adult life.”
(OECD (2012). Literacy, Numeracy and Problem Solving in Technology-Rich Environments: Framework for the OECD Survey of Adult Skills.)

En het is langzamerhand ook wel duidelijk wat je vooral niet moet doen:

  • Rekenangst bestendigen of vergroten door voortdurend te praten over achterstanden, diagnoses en remedies;
  • Hetzelfde maar steeds blijven aanbieden wat deze studenten al op de basisschool niet begrepen of niet tot een eigen gereedschap konden maken;
  • Heel veel technisch rekenen met grote afstand tot de werkelijkheid, los van context of voorstelbare situaties;
  • Bakken onvoldoendes uitdelen voor externe toetsen waarbij je als docent geen enkele autonome invloed hebt op inhoud, antwoorden, cesuur of eindcijfer.

Het is nu november 2018. Na 10 jaar politiek gehakketak over top-down rekentoetsen bij het referentiekader Taal en Rekenen, is nu door het ministerie van OCW de koers ingezet dat de verantwoordelijkheid bij de scholen en opleidingen gaat liggen voor zowel het onderwijs als voor de toetsing van het referentiekader.

Dat geeft scholen die al jaren bezig zijn serieus werk te maken van het rekenonderwijs eindelijk de steun in de rug dat verder uit te bouwen en op een door hen gewenste manier in het examenprogramma (of het Programma van Toetsing en Afsluiting) op te nemen.

Samen in een netwerk ontwikkelen hoe je daarbij goede en valide toetsen maakt, is wat mij betreft de toekomst.

Beter rekenonderwijs: van cijferen naar gecijferdheid

In de jaren 1950-1975 was een brede consensus dat het rekenonderwijs moest bestaan uit het oefenen van bewerkingen op kale getallen volgens vaste procedures met de hand en op papier: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. De staartdeling is het icoon van deze opvatting. Was dat een relevante bezigheid? Ja, zeer relevant. Voor 1975 bestonden er simpelweg nog geen rekenmachines en moest alles, maar dan ook alles, met de hand en met pen-en-papier worden uitgerekend. Elke fabriek die in de wederopbouw is gebouwd, elke raket die naar de maan is geschoten, elk lopende-band productieproces kwam tot stand door ingenieurs die met pen-en-papier complexe berekeningen uitvoerden. Maar ook alle transacties in de detailhandel werden vergezeld van handmatige berekeningen. Echter, de kwantitatieve kant van wereld ziet er vandaag de dag heel anders uit en het kale cijferen heeft daarin zijn relevantie vrijwel volledig verloren.

In de jaren 1975 – 2000 deed allerlei apparatuur haar intrede die handwerk overbodig maakte: rekenmachines, elektronische kassa’s, spreadsheets, ….  In het onderwijs ontstond ruimte en de wens om niet alleen de vaardigheden aan te leren, maar ook te onderwijzen waar en hoe die vaardigheden ingezet konden worden om te komen tot het oplossen van problemen.  Situaties uit de werkelijkheid gingen deel uitmaken van het onderwijs in velerlei vormen:  toepassingen, simulaties, contexten, projecten, …. Realistisch reken- en wiskundeonderwijs is daar een voorbeeld van. Dit was overigens geen nieuwe gedachte; het rekenboek De Cijfferringe van Willem Bartjens staat ook al helemaal vol met koopmansrekenen, praktische opgaven met groot maatschappelijk nut. Het boek haalde tussen 1600 en 1700 met gemak de honderdste druk. De werkelijkheid de klas binnenhalen is overigens niet altijd makkelijk. In veel situaties wordt het gereduceerd tot het beschrijven van de situatie door middel van taal.  In de vorige eeuw was in het onderwijs contextrijk eigenlijk gelijk aan taalrijk. In deze eeuw kunnen we gelukkig ook gebruik maken van beeld.

In de jaren 2000- 2025 wint wereldwijd een derde opvatting snel aan populariteit. Die zegt dat studenten gecijferd moeten worden om met de kwantitatieve kant van de wereld om te gaan. Gecijferdheid neemt de persoon zelf en zijn/haar relatie met de wereld als uitgangspunt. De kwantitatieve kant  de wereld is zo rijk, zo gevarieerd en soms zo complex, dat leerlingen / studenten een zeer uitgebreid repertoire nodig hebben om zich daarin te redden. Gecijferdheid is in die opvatting een onlosmakelijk onderdeel van de persoonlijke ontwikkeling. Direct na de geboorte zijn de eerste interacties van de jonggeborenen met aantallen, patronen en structuren in tijd en ruimte. Onze hersenen zijn “hard-wired” om om te gaan met aantallen, structuren en patronen. Het lichaam ondersteunt gecijferdheidsontwikkeling door te bewegen en zich te verhouden tot de fysieke omgeving.
Ook de psychologische kant van rekenen en wiskunde (leren) is steeds meer onderwerp van studie. Veel rekenproblemen blijken toch vooral psychologische problemen te zijn veroorzaakt door onderwijs (zie bijvoorbeeld de literatuur over Math Anxiety). Rekenproblemen zouden minder benoemd moeten worden als (individuele) leerlingkenmerken.
Onderdeel van gecijferdheid is ook hoe om te gaan met de stortvloed aan kwantitatieve gegevens die de huidige maatschappij produceert en gebruikt voor het economische verkeer, het politiek proces en het dagelijkse leven. Het gaat dan vooral om het trekken van conclusies uit getalsmatige informatie. Interpreteren, analyseren, ordenen, (in)schatten, structureren, selecteren en kritisch beschouwen van kwantitatieve informatie zijn vaardigheden die horen bij gecijferdheid. Passend onderwijs hierbij is wereldwijd in ontwikkeling.
De ontwikkeling gaat langzaam. In de politiek en de (sociale) media is vaak de visie uit 1950-1975 nog dominant.

Gecijferdheid en statistische geletterdheid

De concepten

Er zit grote overlap tussen de concepten Gecijferdheid en Statistische Geletterdheid. Beide concepten gaan erover hoe de mens omgaat met de kwantitatieve aspecten van de wereld om ons heen. Gecijferdheid neemt daarbij ook uitdrukkelijk de kant van patronen en structuren mee. Statistische geletterdheid draait vooral ook om de manier waarop mensen de werkelijkheid om ons heen in getallen probeert te vangen. Door te tellen, door te boekhouden door kwantitatieve gegevens te verzamelen, te ordenen en te aggregeren in samenvattende getallen. Vervolgens worden die resultaten weer getoond aan een doelgroep met daarbij een groot aantal verschillende motieven van platte reclame, tot informatievoorziening voor de burger, tot complexe politieke manipulatie.

Kritische benadering

Dat communicatie door woorden of cijfers door mensen voor allerlei doeleinden worden gebruikt is niets nieuws onder de zon. Maar dat het steeds ingewikkelder wordt om onderscheid te maken tussen echte gegevens, flauwekulgegevens en bewuste misleiding is wel een probleem. In iedere geval voor vel burgers die zich staande proberen te houden in de stortvloed van data die vis de (sociale) media tot hen komen.

Ik was in augustus 2018 als “ciritical friend” op bezoek bij het project ProCivicStat dat een stevig pleidooi houdt voor het opnemen van statistische geletterdheid (Civic Statstics) in het curriculum van het voortgezet onderwijs.

Daarbij rezen nadrukkelijk de volgende vragen: Wat is nuttiger als brede en noodzakelijke basiskennis voor de aanstormende burgers in de 21e eeuw: haakjes wegwerken bij algebra of kritisch grafieken en tabellen lezen en interpreteren? Waarom is het zo moeizaam om het onderwerp kritisch omgaan met getallen een plek te laten veroveren in de (examen-)programma’s? Waarom wordt als er al statistiek en kansrekening in het programma zit dit zo plat ingevuld met het berekenen van gemiddeldes en het zelf maken van cirkeldiagrammen bij simpele rijtjes bedachte getallen?

Materiaal voor in de les

Pro CivicStat heeft een mooie collectie opdrachten en projecten ontwikkeld en verzameld als inspiratie voor docenten. Met als kenmerken: echte bestaande data, geëngageerde onderwerpen (honger in de wereld, natuurrampen,. Inkomensverschillen, luchtverontreiniging, discriminatie, et cetera) Ze zien te vinden op hun website.

Ik denk dat een grassroots beweging van docenten die dit soort opgaven interessant en belangrijk voor hun leerlingen vinden een betere en meer inspirerende weg van invoeren in het onderwijs is dan alleen maar te streven naar opname in het curriculum. De officiële curriculumwijzigingstrajecten zijn altijd vooral stroperig en eindigen te vaak met een slap politiek compromis of een slappe variant van het bestaande.

Voorbeeld: Exploring poverty with Gapminder

John Dewey: The Psychology of Numbers

“Number is the tool whereby modern society in its vast and intricate processes of exchange introduces system, balance and economy into those relationships upon which our daily life depends. Properly conceived and presented, neither geography, nor history is a more effective mode of bringing home to the pupil the realities of the social environment in which he lives than is arithmetic.”

Uit:  McLellan, J. A., & Dewey, J. (1895). The psychology of number and its applications to methods of teaching arithmetic.
New York, NY: D. Appleton & Company. (p. xiii)

Wiskunde en democratie

 John Dewey wordt wel de filosoof van de democratie genoemd. In zijn werk staat de kans op de optimale ontwikkeling voor elk individu centraal, die echter samen gaat met de eis van een grote sociale verantwoordelijkheid  van elk individu. Veel onderwijsvernieuwing in de vorige eeuw is gebaseerd op de publicaties van John Dewey. Ook recent en dichtbij, zoals bijvoorbeeld het onderwijsconcept van De Nieuwste School in Tilburg.

Minder bekend is deze geciteerde publicatie die Dewey vrij vroeg in zijn carrier samen schreef met James McLellan, een schoolhoofd en onderwijspsycholoog uit Ontario. Enkele jaren daarna verscheen “The Child and The Curriculum”  (Dewey, 1902), waarin Dewey op bredere wijze zijn onderwijsfilosofie uiteenzet.

Invloed in Nederland

In Nederland heeft het denken van Hans Freudenthal over wiskunde als menselijke activiteit, een zeer grote invloed gehad op het reken- en wiskundeonderwijs.  Onmiskenbaar zijn er parallellen zichtbaar tussen het denken van Dewey en van Freudenthal, vooral als het gaat om concrete probleemsituaties als uitgangspunt voor het leren te nemen. Daarbij heeft Dewey, als filosoof van de democratie,  vooral een focus op concrete en praktische problemen uit het dagelijkse leven als bron voor rekenen en wiskunde. Bij Freudenthal , als eminent wiskundige, ligt de nadruk meer op de didactische opbouw naar wiskundige structuren. Het is verrassend hoe in “The Psychology of Number”, inmiddels 121 jaar oud, nog zoveel behartigenswaardige en voor de huidige tijd relevante zaken worden beschreven.

James A. McLellan, 1832-1907.

John Dewey, 1859-1952.

 

 

 

 

 

 

Column is eerder gepubliceerd: Bildungskalender 2017 ISVW