Gecijferdheid is ook kritisch kijken

Vooraf

Getallen, patronen en structuren trekken dagelijks in een bonte stoet aan ons voorbij. Getallen en wiskundige redeneringen worden gebruikt om informatie aan ons over te brengen of om ons iets aan de man te brengen. Kritisch kijken is daarbij een onmisbare attitude. Niet alleen om echte fouten en misleidingen op te sporen, maar ook om geen gelegenheid te missen om eens hartelijk te lachen over echte bloopers.

Causaliteit en correlatie

Een heel veel gemaakte fout is het door elkaar halen van causaliteit en correlatie. Er zijn heel veel verschijnselen die ‘samenhangen’. Pas met een algemeen geaccepteerde of aannemelijke onderliggende theorie over oorzaak en gevolg kan er sprake zijn van causaliteit. Dat sporten goed is voor je gezondheid, is een redelijke geaccepteerde theorie. Dat je door een uurtje badmintonnen per week meer gaat verdienen, is nog maar de vraag. Met welk niveau leerlingen kun je hierover een goed klassengesprek hebben? En doe je dat ook?

 

Bloopers

Als uitsmijter van een jaargang stukjes over gecijferdheid nog twee voorbeelden van echte bloopers.


 

 

 

 

 

Laat uw klas eens zulke voorbeelden verzamelen. Binnen enkele weken heb je er vast al een aantal te pakken. Ik houd me aanbevolen.

Eerder verschenen in 2016 in Euclides 91(8). p.39

Ontluikende gecijferdheid

Vooraf

In onderwijskringen worden taal en rekenen of geletterdheid en gecijferdheid vaak in één adem genoemd. Toch verschilt de ontwikkeling van taal en van rekenen op essentiële punten van elkaar. Lezen en schrijven is bijvoorbeeld een specifiek coderingssysteem dat kinderen aangereikt krijgen zo tussen hun tweede en vierde levensjaar. Gecijferdheid echter lijkt haar oorsprong te kennen in rudimentaire hersenlagen en daarmee veel dieper verbonden te zijn met de natuurlijke ontwikkeling van kinderen. Zelfs de nature-versus-nurture discussie over gecijferdheid is nog niet beslecht. Veel diersoorten (b)lijken al enige vorm van gecijferdheid te hebben doordat ze inschattingen kunnen maken van groepsgroottes.  Keith Devlin legt in zijn zeer leesbare boek The Math Gene meer de nadruk op de rol van gecijferdheid bij de overgang van primaat naar mens. Hij dicht de ontwikkeling van causaal denken, sterk verwant aan gecijferd denken, een belangrijke rol toe bij die overgang: het kunnen voorspellen van het effect van een actie, het als-dan denken.

Om een idee te krijgen van hoe aangeboren het gevoel voor aantallen is, laat ik in lezingen over gecijferdheid het publiek vaak raden op welke leeftijd een kind in staat is het onderscheid te maken tussen een, twee en drie.  Let wel: het gaat dan niet om de getallen 1, 2 en 3, maar louter om het veel grondstoffelijkere fenomeen aantallen. De verbazing is groot dat het vermogen dit te kunnen onderscheiden al is aangetoond bij pasgeborene van enkele uren oud.

1 – 4

Tussen het eerste en vierde levensjaar gaan kinderen de wereld om hen heen verkennen. Ze komen daar spelenderwijs in aanraking met allerlei verschijningsvormen van aantallen, maar ook met verhoudingen, zowel getalsmatig als meetkundig. Verder raken ze vertrouwd met afmetingen en met meetkundige vormen van concrete objecten. Ook verkennen ze verbanden tussen grootheden en ervaren ze als-dan redeneringen. Als we ons dit realiseren, wekt het geen verbazing waarom er voor het referentiekader rekenen zo’n brede benadering is gekozen in vier domeinen: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden. Deze komen van nature voor in de wereld om ons heen.

Kinderen verkennen de gecijferde wereld door kijken, betasten, bewegen en spelen. Ze leggen de verbinding tussen objecten buiten henzelf en delen van hun lichaam, zoals tellen op de vingers.

Het eigen lichaam is voor kinderen het eerste wiskundige model dat ze leren hanteren

4 – 18

Tussen 4 en 18 jaar gaan kinderen naar school. Hun intuïtieve natuurlijke nieuwsgierige en waardenvrije ontdekking van de gecijferdheid in de wereld om hen heen komt tot een vrij abrupt einde. De wereld van het rekenen wordt van 3-dimensionaal en levensecht opeens 2-dimensionaal, plat en los van de echte wereld: werkbladen, boekjes, beeldscherm, stil zitten achter een tafel, vooral niet bewegen, alles via het hoofd, liever niet met de handen. Soms snel toewerkend naar door anderen bedachte notaties en conventies.

De ongedwongen waardenvrijheid van het verkennen van de gecijferde wereld verdwijnt naar de achtergrond. Er ontstaat een wereld van een antwoord-gedreven goed-fout cultuur. Het is toch verwonderlijk dat we een vakgebied hebben waar kinderen voortdurend te horen krijgen wat ze fout doen.

Claudi Alsina, de grote voorvechter van less chalk, less words, less symbols, more objects, more context, more actions in reken- en wiskundeonderwijs heeft dit al eens beeldend beschreven als How Johnny became a flatlander.

19 – 88

In de volwassen wereld blijken heel veel mensen moeite te hebben met zelfs elementaire gecijferdheidsproblemen, zoals quizzen met incidentele rekensommen steeds weer laten zien in vele landen en culturen. Zo veel dat het ongeloofwaardig is dat het hier gaat om louter cognitieve hindernissen. Zo moeilijk is rekenen nu ook weer niet.

Ik denk dat veel van de gesignaleerde problemen van psychologische aard zijn, opgebouwd door plat rekenen in een goed-fout cultuur buiten de context van de echte wereld.

Op weg dus maar naar gecijferdheid: echt rekenen in de wereld om ons heen. En graag wel voor 2032.

Eerder verschenen in 2016 in Euclides 91(6). p.27-28

Schrikkeljaar

365,24219265

Je ziet een getal en onverbiddelijk dringt zich een associatie op. Ik denk dat heel veel wiskundedocenten bij het zien van bovenstaand getal een eensluidende gedachte
hebben: schrikkeljaar. Het is één van de essenties van gecijferdheid: welke rol spelen getallen in onze samenleving,  in ons leven? Welke betekenis hebben getallen en
welke betekenis geven wij er aan? Zouden leerlingen deze associatie ook hebben? Als u het in de klas wilt uitproberen dan hoor ik graag uw ervaringen. Bij voorkeur uit te voeren op woensdag 24 februari 2016. Want wist u dat er oorspronkelijk zo’n extra dag werd ingevoegd na 23 februari, zodat eigenlijk in een schrikkeljaar 24 februari schrikkeldag moet heten? Sint Matthijs heeft er op zijn oorspronkelijke naamdag nog steeds last van.

Rekenen en taal

Bij rekenen en wiskunde bestaat vaak de neiging om alles heel precies en eenduidig te definiëren en af te spreken: laten we afspreken dat we dat voortaan zó noemen, zó noteren en zó uitrekenen. Bij gecijferdheid daarentegen wil je leerlingen leren om te gaan met de grote diversiteit waarin kwantitatieve zaken kunnen worden gerepresenteerd, en daar kritisch naar te kijken. Daarbij hoort ook het leren en waarderen dat verschillende mensen, verschillende culturen en verschillende systemen de zaken op een andere manier kunnen voorstellen, maar dat de onderliggende begrippen en concepten hetzelfde zijn.
Voor taal ligt dat anders dan bij rekenen. Wij vinden het heel gewoon dat verschillende groepen mensen voor hetzelfde concept heel verschillende woorden gebruiken:
schaltjahr, leap year, schrikkeljaar, skudår en skottår.  Deze woorden hebben allemaal te maken met schakelen, verspringen (in Oudnederlands: schrikken), en verschieten. Maar er is ook: bissextile year, année bissextile, anno bisestile, año bisiesto.
Ons gecijferdheid-associatievermogen draait direct op volle toeren: twee zesde of tweede van de zesde of tweede zesde? Het blijkt terug te voeren op een ingevoegde
tweede zesde dag vóór 1 maart. In de Romeinse kalender werden de dagen tot 1 maart afgeteld vanaf midden februari en in een schrikkeljaar ging dat dus zo: …, 8, 7, 6,
6*, 5, 4, 3, 2, 1.

Rekenen aan gecijferdheid

Terug naar 365,24219265. Door die betekenisvolle associaties dringt het rekenwerk zich bijna als vanzelf op. Een voor de hand liggende vraag aan leerlingen is:
‘Hoe zou jij deze lengte van het tropisch jaar verwerken in een reeks van jaren, die nu eenmaal bestaan uit een geheel aantal dagen?’ Daarbij is natuurlijk vooral het
kleine verschil met 365,25 het meest interessant om aan te rekenen. Voor leerlingen uit hogere klassen zou het uitdagend kunnen zijn eens na te rekenen hoe andere
culturen met andere kalenders dit zelfde probleem oplossen. Bijvoorbeeld in de Iraanse kalender. Die werkt met een 33-jarige cyclus waar in jaar 5 een extra dag
wordt toegevoegd en vervolgens na elke vier jaar. Hoe ver kom je daarmee? Heel soms wordt die cyclus 29 jaar. Hoe vaak moet dat om heel precies op gemiddeld de goede jaarlengte te komen?

Eerder verschenen in 2016 in Euclides 91(4). p.21

Ongecijferdheid

Er is een nieuw boek uit van John Allen Paulos. Wie zich verder verdiept in gecijferdheid komt vroeg of laat de naam tegen van John Allen Paulos, wiskundeprofessor aan de Temple University in Philidelphia.

Zijn eerste boek Innumeracy, Mathematical illiteracy and its consequences (Ongecijferdheid – De gevolgen van wiskundige ongeletterdheid) is nog steeds te koop en ook nog steeds uiterst lezenswaardig. In 1988 was het een wereldwijde bestseller omdat het met veel humor en messcherpe analyses blootlegde hoe moeilijk het voor veel mensen is om allerlei kwantitatieve beweringen op waarde te schatten. Hij zelf benoemt het als  the layperson’s misconceptions about numbers, probability and logic.  Zijn vele voorbeelden gaan over ongrijpbaar grote getallen en heel kleine kansen, over fouten in logische uitspraken, en over de flaters in uitspraken in het publieke debat, maar ook in krantenartikelen en beleidsdocumenten. Het boek maakte vooral grote indruk omdat Paulos liet zien dat ongecijferdheid niets te maken heeft met opleidingsniveau of cognitieve capaciteiten. Zelfs succesvolle academici uit allerlei verschillende disciplines doen zich in zijn voorbeelden gelden als ongecijferd. Rudy Kousbroek noemde dit in het nawoord bij de Nederlandse vertaling kunstmatige domheid: goed opgeleide mensen die op verjaardagen koketteren met hun eigen onvermogen om ook maar iets met getallen te (willen) snappen.

Net verschenen

Net verschenen van de inmiddels 70-jarige Paulos is zijn negende boek over dit thema: A numerate life – A mathematician explores the vagaries of life, his own and probably yours. De meeste van zijn boeken, zoals Een wiskundige leest de krant, Een wiskundige op de beurs, en Een getallenman zijn vertaald in het Nederlands en deze zal vast ook snel volgen.  Het is een uiterst leesbaar boek dat veel wegheeft van een autobiografie. Echter zonder enige zelfverheerlijking of borstklopperij. Deze wiskundige reflecteert op zijn ervaringen op tal van gebieden van zijn eigen leven.

Gecijferdheid en onderwijs

Paulos schrijft ook al twintig jaar een wekelijkse column voor ABC-news: Who’s counting. Bijna elke column kan al aanleiding zijn voor een klassengesprek of bron van inspiratie om eens gecijferd naar het huidige nieuws in onze kranten te kijken. (zie abcnews.go.com en zoek Paulos)

Paulos volgend zou het in alle reken- en wiskundeprogramma’s een verplicht onderdeel moeten zijn leerlingen te leren kritisch te kijken naar hoe zij zelf en anderen omgaan met kwantitatieve redeneringen. En dat kan al heel simpel in spelletjes, bij beslissingen waarbij keuzes gemaakt moeten worden of bij als-dan redeneringen. Maar ook door kritisch met leerlingen naar getallen, grafieken en tabellen uit de krant te kijken.

Destijds bij de invoering van wiskunde A op vwo (1985) en havo (1988) en het nieuwe programma voor vmbo (1992) werd nog nadruk gelegd op de wenselijkheid om zo’n kritische blik bij leerlingen te ontwikkelen. Wat is er toch de afgelopen vijftien jaar gebeurd in ons reken- en wiskundeonderwijs? Wanneer is zo’n functionele en inspirerende kijk op rekenen en wiskunde afgegleden naar de roep om breukensommetjes, staartdelingen en verplichte rekentoetsen zonder rekenmachine?

Mijn pleidooi is: lezen dat nieuwe boek van Paulos en gebruik zijn columns voor ABC-news in de klas. Ik zal wat aanzetten doen op de website gecijferdheid.nl. Ik hoor graag uw ervaringen.

Eerder verschenen in 2016 in Euclides 91(5). p.19

Voor meer informatie: www.gecijferdheid.nl/John_Allen_Paulos.htm

Vluchtelingen

Hoe laat je zien dat er weinig vluchtelingen in Nederland worden opgevangen?

  • Er zijn in Nederland 30 gemeenten met meer dan 100.000 inwoners en nog eens 40 met meer dan 50.000.  En 30 keer 1000 plus 40 keer x 500 is 50.000.
  • Van de 7,5 miljoen woningen in Nederland staan er permanent 450.000 leeg, waarvan 100.000 direct beschikbaar.
  • Er zijn 3.000.000 miljoen huurwoningen in Nederland. Bij eens in de tien jaar verhuizen neemt de wachttijd voor een huis met 2 weken toe bij het huisvesten van 50.000 extra mensen.
  • Er zijn wereldwijd 60 miljoen mensen op de vlucht. Wij vangen daar maar 0,08 % van op.
  • Je kunt de hele wereldbevolking van 7 miljard  in bed leggen in de provincies Utrecht en Flevoland (120 km bij 120 km). We hebben het hier over 50 duizend.
  • Voor elke wedstrijd en concert in  de Arena vult het stadion zich met 50.000 mensen en die zijn twee uur na afloop onvindbaar verdwenen in een gebied  met een straal  van 150 kilometer rond het stadion.

Hoe laat je zien dat er veel vluchtelingen naar Nederland komen?

  • Als ze met de auto zouden komen zou er aan de grens een file van 80 kilometer staan.
  • Dat is 50 opvangkampen met 1000 mensen, waarvan altijd wel eentje binnen een straal van 25 kilometer van uw huis.
  • Dat is 3% van onze bevolking. Nog 15 jaar zo doorgaan en het is bijna de helft van onze bevolking.
  • Met € 20.000 kosten per vluchteling kost het ons zo al ongeveer 1 miljard euro.
  • Er zijn wereldwijd 2 miljoen vluchtelingen op drift, waarvan Nederland er 2,5% opvangt. Terwijl wij maar 0,2 % van de wereldbevolking zijn.
  • De wachttijd voor een sociale huurwoning in Nederland is gemiddeld 8 jaar.

Gepresenteerde cijfers zijn nooit waardenvrij. Misschien is het daarom maar beter dit onderwerp te benaderen met compassie in plaats van met getallen. Durft u deze bladzijde te bespreken in de klas? Laat het me weten.

Noot

  • Bron: Gregg Easterbrook, met dank voor het citaat aan Sanne Blauw, correspondent Ontcijferen bij DeCorrespondent.nl
  • Alle cijfers op deze bladzijde komen van officiële instanties, zoals cbs.nl; vluchtelingenwerk.nl; UNHCR.nl.

Eerder verschenen in 2015 in Euclides 91(3). p.15

Cijferen, rekenen in context, gecijferdheid

Beelden zijn een krachtige manier om concepten over te brengen. In de media lijkt er haast wel een Babylonische spraakverwarring te zijn in de discussie over rekenen. Bij elk gloedvol betoog over rekenen denk ik altijd: ‘Wat zou het achterliggende mentale beeld zijn?’

Ik zal enkele van de meest voorkomende opvattingen beschrijven en voorzien van een typerend beeld. De opvattingen waren in verschillende tijdperken dominant. De genoemde tijdperken zijn uiteraard niet zo scherp afgebakend.

Opvatting 1: 1950-1975 Cijferen

Een vrij persistente opvatting is dat de essentie van rekenen het cijferen is, dat wel zeggen het kunnen uitvoeren van bewerkingen op kale getallen volgens vaste procedures met de hand en op papier: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. De staartdeling is het icoon van deze opvatting. Is dat een relevante bezigheid? In een land dat dreef op handel, scheepvaart en industrie was deze ambachtelijke vaardigheid van het grootste belang. Zonder cijferen geen fabrieken, geen handel, geen zeereizen. Het rekenboek De Cijfferringhe van Willem Bartjens haalde tussen 1600 en 1700 met gemak de honderdste druk. De kwantitatieve kant van de wereld ziet er vandaag heel anders uit en het kale cijferen heeft daarin veel van zijn relevantie verloren.

Opvatting 2: 1975-2000 Rekenen in context

Een andere opvatting luidt dat het bij rekenen vooral gaat om het kunnen oplossen van praktische kwantitatieve problemen. Zo’n probleem moet dan wel gepresenteerd worden in taal of in beeld. Dat noemen we een context. Deze benadering is op dit moment gemeengoed in het onderwijs in Nederland. De huidige schoolboeken en toetsen staan er vol mee. In realistisch reken- en wiskundeonderwijs komen veel van dit soort contextopgaven voor. Maar ook in leergangen die gericht zijn op probleemoplossen, toepassen en modelleren.

Opvatting 3: 2000-2025 Gecijferdheid

Wereldwijd wint een derde opvatting snel aan populariteit. Die zegt dat leerlingen gecijferd moeten worden om met de kwantitatieve kant van de wereld om te gaan. Gecijferdheid neemt, meer nog dan realistisch rekenen, de wereld om ons heen als uitgangspunt. Die is zo rijk, zo gevarieerd en soms zo complex, dat leerlingen een zeer uitgebreid repertoire nodig hebben om zich daarin te redden. Bij vermenigvuldigen gaat het niet om een som en een goed antwoord, maar om het herkennen van vermenigvuldigstructuren in bloemperken, stapelingen etc. Bij delen gaat het niet om de staartdeling maar om verdeel- en uitdeelproblemen bij recepten, bij verhoudingen, bij medicatie etc. Maar het gaat bovendien om het trekken van conclusies uit getalsmatige informatie. Interpreteren, analyseren, ordenen, (in)schatten, structureren en selecteren van kwantitatieve informatie zijn vaardigheden die horen bij gecijferdheid. Kortom leerlingen toerusten voor de veelheid aan kwantitatieve verschijningsvormen in de echte wereld.

Mijn uitdaging aan u. Sta de komende maanden bij elk artikeltje dat u leest over rekenen, eens stil wat daarbij de achterliggende, veelal impliciete, opvatting is over rekenen. Mogelijk voelt u zich zelf het meest thuis bij één van deze opvattingen. Ook dat geeft nuance aan de discussie.

Eerder verschenen in 2015 in Euclides 91(2). p.15

Gecijferdheid in Euclides

In de komende jaargang van Euclides (2015/2016) geeft de redactie mij de ruimte om het begrip gecijferdheid letterlijk en figuurlijk van beelden te voorzien. Voorlopig houd ik maar even de volgende werkdefinitie aan: Gecijferdheid is de combinatie van kennis, vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten die een individu nodig heeft om adequaat en autonoom om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen.

Over alle woorden en concepten in deze definitie kun je heel veel zeggen én laten zien. De kwantitatieve kant van de wereld om ons heen vat ik in ieder geval alvast maar heel ruim op: het gaat om de getallen, patronen en structuren die wij waarnemen en ervaren en onze interactie daarmee. De wereld om ons heen is doordesemd met getallen, patronen en structuren. Daarbij kun je denken aan alles dat wij in die wereld gebouwd en geconstrueerd hebben, maar ook aan de structuren in de natuur, die door de onbedwingbare drang tot groeien,zichtbaar worden. Denk maar eens aan spiraliserende slakkenhuizen en de schubben van de ananas die keurig Fibonacci volgen. Soms wordt dit wel ‘the unreasonable effectiveness of mathematics‘ genoemd.


Mijn persoonlijke fascinatie ligt bij wat mensen hiermee doen als actieve gebruiker van rekenen en wiskunde, maar ook wat dit doet met mensen die als consument geconfronteerd worden met allerlei aspecten van die kwantitatieve wereld. Het PIAAC-rapport uit 2013 rept niet voor niets over 1,5 miljoen laaggecijferden in Nederland.

Wat is het belang van gecijferdheid voor het onderwijs? Naast probleemoplossen, modelleren en abstraheren zal ook praktisch gebruik in alledaagse situaties in toenemende mate een van de doelen van reken- en wiskundeonderwijs zijn. Het volgende referentiekader kan zomaar het referentiekader geletterdheid en gecijferdheid gaan heten, net zoals in de rest van de wereld.

De pedagogische opdracht ligt bij het woordje ‘autonoom’ in de definitie waarmee ik deze bladzijde ben begonnen: leerlingen toerusten nieuwsgierig en vrij van angst en afkeer de kwantitatieve wereld tegemoet treden. Zo ver maar even.

Voor een aantal thema’s in de komende nummers roep ik uw hulp in: ik ben op zoek naar de mooiste (media-)bloopers op het gebied van gebruik van getallen. Dat kan zijn in kranten, op reclamezuilen, in etalages, op aanwijzingsborden: alles mag. Ik geef alvast een krantenkop die op dit gebied als een klassieker wordt beschouwd: “Bij brand kippenschuur 24.999 kippen omgekomen.” Volgens de eigenaar waren er 25.000 kippen omgekomen, maar één kip blijkt het op miraculeuze wijze overleefd te hebben. Van die dingen. Graag uw foto’s of vindplaatsen naar mij e-mailen voor de kerstvakantie. Ik reken op een grote respons: dat toch zeker wel 2,37% van de lezers hierop reageert.

Ik licht alvast een tipje van de sluier op van de mogelijk onderwerpen in de komende nummers: ongecijferdheid, bloopers in de media, kwantitatieve structuren in lichaam en brein, evolutionaire ontwikkeling, psychologische effecten van gebruik van getallen in redeneringen en discussies, 21e-eeuwse vaardigheid of ouder dan (geschreven) taal, gecijferdheid in Azië, Afrika en Zuid-Amerika en nog veel meer.

Eerder verschenen in 2015 in Euclides 91(1). p.39